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数学、統計、プログラミング、たまに物理学?に関して勉強したこと疑問なんかを綴っていきます。

弾性学に関する知識の整理1 - 線形代数の復習

仕事(建築系)で曲げとか剪断とか歪みとか、いわゆる弾性学の知識が必要になることが多いので、物理、解析学が苦手なりに整理してみようという趣旨で書いてみます。
特にテンソルについては、いろんな人がいろんなことを書いているので何が定義なのかもよくわからないまま書き始めています。
座標系を決めてやると決まる何か…だから舞台は物体(3次元空間の部分多様体)上の適当ベクトル場と思ってればいいのかな。
…などとあたりをつけたところで、とりあえず復習として線形代数のお話から。
(結局今回は弾性学に使われるテンソルの少し一般的な定義を書いただけで終わってしまいました。次回はもう少し物理よりの話を書く予定。)

1. 双対空間 あまり一般的なことを書いてもしょうがないので、以下では特に断らない限りベクトル空間の基礎体は実数体\mathbb{R}、次元は有限とする。
ベクトル空間 Vに対して、その双対空間 V^*とは Vから基礎体 \mathbb{R}への線形写像全体の集合に自然な和およびスカラー倍演算を入れて得られるベクトル空間をいう. つまり, 集合としては

V^* = \{f\colon V\to \mathbb{R}: f\text{ は線形写像}\}

であって、和およびスカラー倍は f,g\in V^*, c\in \mathbb{R}に対して,

f+c\cdot g\colon v \mapsto f(v)+ c\cdot g(v)

で定義される. Vの基底(e_0,\cdots, e_{n-1})が与えられたとき, Vの元 v = \sum_{i=0}^{n-1} v_i e_iから e_iの係数 v_iを取り出す写像は vに関して線形であり, これを e^iと書くことにすれば, 明らかに e^i (i=0,\cdots,n-1)は独立で, 任意の f\in V^*および v = \sum_{i=0}^{n-1} v_i e_i\in Vに対して

\displaystyle{f(v) = \sum^{n-1}_{i=0}v_i f(e_i)}=\sum^{n-1}_{i=0}(f(e_i)e^i(v))=\left(\sum^{n-1}_{i=0}f(e_i)e^i\right)(v)

したがってfは e^iたちの線形結合なので, e^i(i=0,\cdots,n-1)は V^*の基底である. これを e_i(i=0,\cdots,n-1)の双対基底と呼ぶ.

2. 多重線型性
n+1個のベクトル空間 V_i(i=0,\cdots, n-1), Wに対して, 写像

f(v_0,\cdots,v_{n-1}) \colon V_0\times \cdots \times V_{n-1}\to W

が i番目の引数 v_i以外の引数を固定するごとに v_iに関して線形写像になっているとき fは多重線形写像であるという.

3. テンソルの定義(※弾性学の文脈で使われるテンソルを少し一般化した定義だと思う。)
ベクトル空間 Vおよび2つの非負整数 k,lに対して T^{k,l}(V)を

\overbrace{V^* \times \cdots \times V^*}^k \times \overbrace{V\times \cdots \times V}^l

から \mathbb{R}への多重線形写像全体の集合とする. T^{k,l}(V)の元を次数(英語ではdegreeとかorder) (k,l)のテンソルと呼ぶ.

4. テンソルの例
4.1. k=l=0のとき, 次数(0,0)のテンソルはスカラーという見方が一般的なようです。いい説明が思いつきません。(誰か知ってたら教えて)
4.2. k=1, l=0のとき, dualのdualは元と同じと思えるので(雑!)この意味でVの元は(1,0)次のテンソル
4.3. k=0, l=1のとき, 双対空間の定義そのものつまり(0,1)次のテンソルは双対ベクトル(空間の元), つまりVから基礎体への線形写像.
4.4. 線形写像f\colon V\to Vに対して,

T: V^*\times V \ni (g, v) \mapsto g(f(v)) \in \mathbb{R}

は次数(1,1)のテンソル